Задача точки на окружности: На окружности отмечены 49 точек, пронумерованных в некотором порядке нечетными числами 3, 5, 7, … , 99. Если один номер делится на другой, то между точками с этими номерами проводится отрезок. Докажите, что найдутся два отрезка, которые пересекаются внутри окружности.

Задача «точки на окружности» — 6-ая из 10 из вступительного экзамена в лицей «Вторая школа» им. Овчинникова (Л2Ш) в 6-7 класс по устной математике от 2022.03.18.

Подный сборник задач и решений этого экзамена представлены в сборнике «Устная математика Л2Ш, 2025, 6-7 класс».

Доказательство

Рассмотрим числа 3, 9, 27 и 81.

Каждое следующее число делится на предыдущее, поэтому между соответствующими точками проведены все отрезки:

3–9, 3–27, 3–81, 9–27, 9–81, 27–81.

Значит эти 4 точки соединены всеми 6 отрезками, то есть образуют полный граф на 4 вершинах.

Как бы ни были расположены 4 точки на окружности, у четырёхугольника есть две диагонали, и они пересекаются внутри окружности.

Следовательно, среди проведённых отрезков обязательно найдутся два, которые пересекаются внутри окружности.

Если вы готовите ребенка к поступлению в 6 или 7 класс сильной математической школы

то вам могут быть полезны сборники заданий и решений для подготовки в ТОПовый физико-математический лицей «Вторая школа». Если ребенок научится решать эти задачи, то это значительно увеличит шансы на поступление в маткласс.